確率分布(二項分布/ポアソン分布/正規分布)

(2017-10-15)

二項分布

確率pで起きる事象がn回の試行でx回起きる確率関数の離散的確率分布。記号で書くとB[n,p]。 期待値はnpで、分散はnp(1-p)

二項分布の式

二項分布のグラフ

ポアソン分布

二項分布において、起きる確率pが少なく、試行回数nが多いときに代わりに適用できる確率分布。 具体的にはnが50ぐらいだったら、npが5以下のとき。 試行回数が多いとき、二項分布だとCの部分の計算が困難になってしまうのを解決できる。 期待値も分散もnp=μ

ポアソン分布の式

ポアソン分布のグラフ

正規分布

正規分布は平均値μを最大値とし、左右対称な釣鐘型をしている連続的確率分布。記号で書くとN[μ,σ^2]。 二項分布のnを大きくしていくと正規分布に近づいていく。 p=0.5であれば、n=10の二項分布B[10,0.5]でも良い近似が得られる(N[5,2.5])。 逆にnが大きな二項分布の近似として正規分布を使うこともできる。

正規分布の式

正規分布のグラプ

N[0,1]の正規分布を標準正規分布と呼ぶ。 ある正規分布に従う確率変数xを、標準正規分布に従うzに変換することを標準化変換という。 標準正規分布にすると正規分布表の値を使って計算できる。

標準化変換

また、平均μ、分散σ^2の任意な分布からn個の標本をとったときの平均はN[μ, σ^2/n]に従う。 言い換えれば、標本の平均と真の平均の誤差はN[0, σ^2/n]。これを中心極限定理という。

参考

統計学入門